Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

Anterior Siguiente
1. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
b) $f(x)=2-x^{\frac{1}{3}}$

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de $f(x)$

No hay ninguna restricción, el dominio es $\mathbb{R}$.

2) Derivamos $f(x)$

$ f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} $

Muchísimo ojo acá. Consejo, reescribite esa derivada así, que todo se va a ver más claro:

$ f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2/3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{  \sqrt[3]{x^2}  } $ 

😱 El dominio de $f'(x)$ no es el mismo que el de $f$. De hecho, ya estás viendo seguramente que el dominio de $f'(x)$ no incluye a $x=0$. Pero $x=0$ siiii estaba en el dominio de $f(x)$. Como vimos en clase, automáticamente ya $x=0$ es un punto crítico (candidato a máximo o mínimo)

Veamos ahora si hay otros puntos críticos igualando la derivada a cero:

3) Igualamos \( f'(x) \) a cero

$ -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{  \sqrt[3]{x^2}  } = 0 $ 

Esta ecuación nunca vale cero. Por lo tanto, el único punto crítico es $x=0$

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

$\square (-\infty, 0)$
$\square (0, +\infty)$

5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \) 

Acá podés elegir un número cualquiera que pertenezca a cada intervalo y te fijas el signo de $f'(x)$. Pero de todas formas, si mirás con cariño la expresión de $f'(x)$ te vas a dar cuenta que siempre siempre es negativa, no importa que $x$ vos pongas ahí. Por lo tanto $f$ es siempre decreciente.

Intervalo de crecimiento: $\emptyset$
Intervalo de decrecimiento: $\mathbb{R}$

Reportar problema
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante
🤖
¡Hola! Soy ExaBoti

Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión

Iniciar Sesión Registrarse
ExaComunidad
Conecta con otros estudiantes y profesores
Avatar Maggui 21 de mayo 19:38
hola, una duda, yo deje f'(x)= -1/3*1/x^2/3, y haciendolo asi me da resultados positivos, pero se supone que la forma en la que yo escribi f'(x) es equivalente a la que vos nos sugeriste que usaramos, que estaria haciendo mal?
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 21:39
@Maggui Hola Maggui! $f'(x)$ vos la podés escribir de cualquiera de estas tres maneras y las tres son equivalentes y están bien:

$ f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2/3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{  \sqrt[3]{x^2}  } $ 

¿Cuál es la diferencia? Dependiendo lo que yo tenga que hacer después con $f'(x)$ probablemente me convenga más pensarla de una manera u otra. Por ejemplo, en este caso, si vos dejabas $f'(x)$ escrita así

$f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ 

corrías el riesgo de no darte cuenta que la $x$ estaba en el denominador y por lo tanto $x=0$ no podía estar en el dominio. Por eso yo preferí reescribirla para que se vea bien. 

En cambio, si hubieramos necesitado por ejemplo derivar una ves más $f'(x)$ para obtener $f''(x)$, ahí seguro nos hubiera convenido dejarla escrita así

$f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ 

para derivarla bien fácil usando las reglas para polinomios

Se entiende la idea? 

Nada, quería aprovechar tu pregunta para refrescar eso jaja... Ahora, con respecto a por qué te da positivo al evaluar $f'(x)$ en cualquier número, seguramente estás teniendo algún error al ponerlo en la calcu... ¿te estarás olvidando algún paréntesis cuando lo ponés? Por ej, si querés evaluar en $x=-2$, deberías estar poniendo (-2)^(2/3), y después 1/Ans y después -1/3 * Ans 

Se entiende el camino? Avisame porfa si lo lograste, sino lo seguimos viendo con foto de la calcu si es necesario jaja
Avatar Benjamin 20 de mayo 08:21
Buenas, la ecuacion nunca vale 0 por el dominio de f´(x) no?
Avatar Flor Profesor 20 de mayo 17:35
@Benjamin
Hay más de una manera de ver que nunca vale cero, por ahí te sirve pensarlo así: Si vos quisieras despejar acá

$ -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{  \sqrt[3]{x^2}  } = 0 $

ponele que pasas el $3 \sqrt[3]{x^2} $ del denominador multiplicando para el otro lado, y te queda

$-1 = 0$

que es un absurdo.

Otra manera de verlo es que tenés dos expresiones multiplicándose que nunca valen cero (no hay ningún $x$ que vos puedas meter en $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} $ que haga que eso valga cero)
¡Uníte a la ExaComunidad! 💬

Conéctate con otros estudiantes y profesores

Iniciar Sesión Registrarse